by Tento článek byl původně publikován dne Konverzace. Publikace přispěla článkem na Space.com's Odborné hlasy: Úvodníky a perspektivy.
Nathan BrownlowePřednáší na škole matematiky a statistiky, University of Sydney.
Před dvěma týdny byl na předtiskový server arXiv nahrán skromně vyhlížející článek s nenápadným názvem „O problému invariantního subprostoru v Hilbertových prostorech“. Dokument má pouze 13 stran a jeho seznam literatury obsahuje pouze jeden záznam.
Říká se, že článek obsahuje poslední kousek hádanky, se kterou se matematici potýkají více než půl století: problém invariantního podprostoru.
Slavné otevřené problémy často přitahují ambiciózní pokusy o řešení zajímavých postav, aby se prosadily. Tyto snahy však odborníci obvykle rychle zavrhnou.
Autor této krátké poznámky, švédský matematik Per Enflo, však není žádný ambiciózní nadějný člověk. Je mu téměř 80 let, proslavil se řešením problémů s otevřeným koncem a má s tímto problémem poměrně dlouhou historii.
Per Enflo: matematika, hudba a živá husa
Enflo, narozený v roce 1944 a nyní emeritní profesor na Kent State University, Ohio, má za sebou pozoruhodnou kariéru nejen v matematice, ale také v hudbě.
Je uznávaným koncertním pianistou, který provedl a nahrál řadu klavírních koncertů a vystupoval sólově i s orchestry po celém světě.
Enflo je také jedním z nejlepších řešení problémů v oblasti zvané funkční analýza. Kromě své práce na problému invariantního podprostoru vyřešil Enflo dva další velké problémy – problém báze a problém aproximace – oba zůstaly otevřené více než 40 let.
Vyřešením problému aproximace vyřešil Enflo ekvivalentní hádanku nazvanou Problém mazurské husy. Polský matematik Stanisław Mazur v roce 1936 slíbil živou husu každému, kdo vyřeší jeho problém – a v roce 1972 dodržel slovo tím, že husu předložil Enflo.
Co je to invariantní podprostor?
Nyní známe hlavního hrdinu. Ale co samotný problém invariantního podprostoru?
Pokud jste někdy absolvovali kurz lineární algebry pro prváka, narazili jste na věci zvané vektory, matice a vlastní vektory. Pokud ne, můžeme si vektor představit jako šipku s délkou a směrem, žijící v určitém vektorovém prostoru. (Existuje mnoho různých vektorových prostorů s různým počtem rozměrů a různými pravidly.)
Další informace: Vysvětlení: zájem o čistou matematiku
Matice je něco, co dokáže transformovat vektor, měnit směr a/nebo délku čáry. Pokud konkrétní matice transformuje pouze délku určitého vektoru (to znamená, že směr je buď stejný, nebo obrácený do opačného směru), nazýváme vektor vlastním vektorem matice.
Jiný způsob, jak o tom přemýšlet, je říci, že matice transformuje vlastní vektory (a všechny přímky s nimi rovnoběžné) na sebe: tyto přímky jsou pro tuto matici invariantní. Společně tyto řádky nazýváme invariantní podprostory matice.
Vlastní vektory a invariantní podprostory jsou také zajímavé mimo pouhou matematiku – abychom si vzali jeden příklad, Google prý vděčí za svůj úspěch „25 miliardám vlastních vektorů“.
A co prostory s nekonečným počtem dimenzí?
Jde tedy o invariantní podprostor. Problém invariantního podprostoru je trochu složitější: jsou to prostory s nekonečným počtem dimenzí a ptá se, zda každý lineární operátor (ekvivalent matice) v těchto prostorech musí mít subinvariantní prostor.
Přesněji (držte si klobouk): problém invariantního podprostoru se ptá, zda libovolný ohraničený lineární operátor T na komplexním Banachově prostoru X připouští netriviální invariantní podprostor M z X v tom smyslu, že existuje podprostor M ≠ {0} , X z X tak, že T(M) je zpět obsaženo v M.
Takto postavený problém invariantního subprostoru vyvstal v polovině minulého století a unikal jakémukoli pokusu o řešení.
Další informace: Pythagorova pomsta: Matematiku nevynalezl člověk, z ní se skládá svět
Ale jak to často bývá, když matematici nedokážou vyřešit problém, posuneme cíle. Matematici pracující na tomto problému omezili své pole působnosti omezením problému na určité třídy prostorů a operátorů.
První průlom učinila společnost Enflo v 70. letech (ačkoli její výsledek byl publikován až v roce 1987). Odpověděl na problém záporně tím, že zkonstruoval operátor na Banachově prostoru bez netriviálního invariantního podprostoru.
Co je nového v tomto nově navrhovaném řešení?
Jaký je tedy současný stav problému invariantního podprostoru? Když to Enflo vyřešilo v roce 1987, proč to řešilo znovu?
Enflo vyřešil problém pro Banachovy prostory obecně. Existuje však zvláště důležitý typ Banachova prostoru zvaný Hilbertův prostor, který má silný smysl pro geometrii a je široce používán ve fyzice, ekonomii a aplikované matematice.
Řešení problému invariantního podprostoru pro operátory v Hilbertových prostorech bylo tvrdošíjně obtížné a Enflo tvrdí, že toho dosáhlo.
Tentokrát Enflo odpovídá kladně: jeho článek tvrdí, že každý lineární operátor ohraničený Hilbertovým prostorem má invariantní podprostor.
Odbornost teprve přijde
Na předtisku Enflo jsem nepracoval řádek po řádku. Samotné Enflo by bylo ohledně řešení opatrné, protože ho ještě musí posoudit odborníci.
Vzájemné hodnocení předchozího důkazu Enflo pro prostory Banach obecně trvalo několik let. Tento dokument měl ale přes 100 stran, takže kontrola 13 stran nového dokumentu by měla být mnohem rychlejší.
Pokud je to správné, bude to pozoruhodný úspěch, zvláště pro někoho, kdo již dosáhl tolika pozoruhodných úspěchů za tak dlouhou dobu. Enfloovy mnohé příspěvky k matematice a jeho odpovědi na mnoho otevřených problémů měly velký dopad na tuto oblast a vytvořily nové techniky a nápady.
Těším se na to, až uslyším, zda Enfloova práce nyní uzavírá knihu o problému invariantního podprostoru, a na to, jaká nová matematika by z jeho závěrů mohla vzejít.
Tento článek je znovu publikován z Konverzace pod licencí Creative Commons. Přečtěte si to Původní článek.
Sledujte všechny problémy a debaty Expert Voices – a připojte se k diskusi – na Facebooku a Twitteru. Vyjádřené názory jsou názory autora a nemusí nutně odrážet názory vydavatele. Sleduj nás na Twitteru @Spacedotcom Nebo na Facebook.
